“Moebius” is now “Running in Circles”

On May thirteenth I showed you pictures of the above object, and told you it was a book. The pages are sewn to a Moebius strip (I explained what this is here, in this post), and the book is read by turning the pages as you usually would, starting anywhere, and ending where you started. This way you will read all the pages (on “both sides”). But, apparently, in the above example there is not yet much to read. It was only meant as a first structure prop. And as such a was a full success: it gives a pleasant sound when being “read”, and has a weight and moves and swings in a way that feels good in the hand. So the next step was, to fill it with content.

Am dreizehnten Mai habe ich hier auf dem Blog Bilder von dem Ding oben gezeigt, und behauptet, es wäre ein Buch. Die Seiten sind auf einen Streifen aufgenäht, der zu einem Möbiusstreifen zusammengefügt ist (Was das ist, habe ich hier, in diesem Artikel, schonmal erklärt.) Man liest das Buch, indem man an einer beliebigen Stelle eine Seite aufschlägt, und dann – wie bei jedem anderen Buch auch – Seite um Seite weiterblättert. Dabei liest man entlang dieses Möbiusstreifens. Und wenn man die Hälfte der Seiten gelesen hat, ist man an der gleichen Stelle angekommen, an der man angefangen hat, außer dass man nun ‘auf der anderen Seite’ des Streifens gelandet ist. Wenn man die zweite Hälfte auch noch hinter sich gebracht hat, ist man wieder genau auf der Buchseite, bei der man mit dem Lesen begonnen hat.

Nun gibt es offensichtlich bei dem Buch oben noch nicht viel zu lesen, es war ein reiner Strukturtest. – Und ich war sehr zufrieden mit dem Test: Während das Buch gelesen wird, gibt es ein schönes Geräusch, und das Buch selbst liegt angenehm schwer in der Hand. Nun galt es also, das Buch mit Inhalt zu füllen. Nach einem ersten Fehlversuch, ist das Buch jetzt endlich fertig geworden:

So now that it is finally done, let me explain what you can see on the pages:

You all know what a knot is: You take a piece of string, make loops in whatever fashion, pull the ends through eventually, pull tight, and when it does not uncurl, you would say you made a knot. A knot usually comes with an instruction of how to make it. But sometimes there are several ways to make a knot, so that two different instructions give ‘the same knot’. Sometimes these knots do not even look the same, but you will have to shape it a little, moving loops around bumps and knotted parts in the rope to see that it is the same. What what does it mean to be the same knot? What kind of operations are allowed and do not change it, and how do you decide whether two complicated knots are actually the same? Or, in a special case, how do you decide whether the rope you are holding is not knotted at all, just hopelessly tangled?

Mathematicians took to the question, and of course they developed a theory for it. It is called – unsurprisingly – Knot Theory. (Source for a lot of jokes, saying Knot Theory is Not A Theory and variations of that theme.)  Because we would say that when you pull an end of the thread through a loop you would change the knot, the ends are held fast while manipulating it. This could be done by tying the ends to posts right and left, and only work on the part in the middle. Tying the ends to each other gives exactly the same result, and because it makes all the objects so nicely compact, this is what mathematicians decided to do for their model.

So an unknotted piece of rope, or the unknot in this model looks like this:

Lasst mich erklären, was auf den Seiten zu sehen ist. Was ein Knoten ist, wisst ihr alle: Man nimmt ein Stück Seil, macht irgendwelche Schlaufen, zieht die Enden durch und zieht fest. Wenn sich nicht wieder einfach alles auflöst, sagt man, man hat einen Knoten gemacht. Ein Knoten ist normalerweise mit einer Anleitung verbunden, wie man ihn zu machen hat. Aber manchmal gibt es mehrere Anleitungen, von denen man sagt, dass sie den gleichen Knoten ergeben. Diese gleichen Knoten sehen manchmal auf Anhieb durchaus verschieden aus, und man muss ihn erst noch auf die richtige Weise formen, damit man sehen kann, dass sie in Wirklichkeit gleich sind.

Wenn man nun also zwei komplizierte Knoten hat, wie kann man entscheiden, ob sie in Wirklichkeit gleich sind, welche Art von Manipulationen sind erlaubt, und welche verändert den Knoten? Wie kann man sehen, ob in einem Seil ein echter Knoten ist, oder ob es nur schlimm verheddert ist?

Das sind Fragen, derer sich auch Mathematiker angenommen haben. Erlaubte Manipulationen schließen aus, dass man ein Ende des Fadens durch eine Schlaufe zieht. Um das zu verhindern, könnte man etwa die Enden rechts und links festbinden, in dann den verknoteten Teil in der Mitte bearbeiten. Das gleiche Ergebnis bekommt man, wenn man die Enden nicht rechts und links, sondern einfach an einander festknotet, und das ist genau das, was Mathematiker entschieden haben, zu tun. Ein unverknotetes Stück Seil, der Unknoten, sieht in diesem Modell dann aus, wie oben auf dem Bild zu sehen.

Zu entscheiden, ob ein gegebener Knoten sich zum Unknoten entwirren lässt, ist im allgemeinen eine sehr schwierige Aufgabe. Das erste Buch, das ich zum Thema Knotentheorie gelesen habe, und dass ich jedem, der daran interessiert ist, gerne empfehle, ist von Colin Adams, Das Knotenbuch. Einführung in die mathemtische Theorie der Knoten. (Anscheinend ist es in deutscher Sprache nur noch antiquarisch zu bekommen, hier ein link zur Englischen Ausgabe auf Amazon.) In dem Buch findet sich jedenfalls, als Übung 1.11, die Aufgabe, zu zeigen, dass die folgenden zwei Knoten gleich sind, also durch einfache Manipulationen, ohne die Seile durchzuschneiden, in einander transformiert werden können.

The task to determine whether a given knot is the unknot, is usually a very hard problem to solve. The first book I read on this matter was Adams, The Knot Book, and I recommend it to anyone who is interested in  knowing more about that topic. In this book, in exercise 1.11, the reader is asked to show that the following two knots are the same. So what one has to do, is to show that just by manipulating it without cutting the rope anywhere it can be transformed to this simple loop. (Well, the actual task is a little harder and more formalized, but essentially that’s it.)

And the solution to this exercise is what you can see when flipping through the pages of my book: If you start at the page that holds the image on the left side, you can see this knot unknot itself, and then, knot itself again to become a very similar looking diagram which would be the same knot but looked at from the other side. So on the paper it is mirrored and all undercrossings are changed to overcrossings and vice versa. When you have read on to this page of the book, you have made it exactly through half of the pages, so that this is the page that sits on the other side of the moebius strip, and is attached to the page at which you started. (At any page, moving to the other ‘side’ of the moebius strip makes, that you look at the knot from the other side.)
When you continue reading the book, you will see that diagram untangle itself, become the simple circle once more, and tangle itself to the initial diagram, which is exactly the page 1 with which you have started.

Because the paper is transparent, you can ‘read’ the book in either direction. (Meaning you could read it from right to left, or from back to front.) Looking at the knots from the backside, you would see a knot that is mirrored. For an arbitrary knot diagram this could be the diagram of a different knot  but in this case, since these are all pictures of the same (un-)knot, they are actually the same.

So there are many symmetries to be observed in this piece, and it all looks very complicated, but is in fact all very simple, all just 0. Reminds me of certain people and so called problem-solving of theirs, … Hence the name of this book: Running around the strip, watching circles tangle and untangle itself, getting back to the starting point eventually, and continue from there again, endlessly running in circles around, and around.

Und auf den Seiten meines Buches nun, kann man eine Lösung der Aufgabe sehen: Wenn man bei der Buchseite zu lesen beginnt, auf der sich das linke der oberen beiden Diagramme befindet, und durch das Buch hindurchblättert, sieht man wie sich der Knoten erst entknotet, und sich wieder zu einem Diagram verknotet, das sehr ähnlich aussieht, bei genauem Betrachten aber anders ist: Es ist das Spiegelbild, in dem dann noch alle Über- in Unterkreuzungen geändert sind, und umgekehrt. Das ist der gleiche Knoten, wenn man ihn als Seil im Raum betrachtet. Aber wenn das erste Diagram gezeigt hat, wie der Knoten aussieht wenn man von oben daraufgeguckt, zeigt dieses Diagram nun was man sieht, wenn man von unten darauf schaut. (Das ist für jedes Diagram auf jeder Buchseite so: auf die andere Seite des Möbiusstreifens wechseln und sich die gegenüberliegende Buchseite anschauen heißt, sich den dargestellten Knoten von der anderen Seite anzuschauen.) Wenn man nun also so weit ist, dass man die erste Darstellung von unten sieht, ist man gerade zur Hälfte durchs Buch durch. Wenn man weiterblättert, entwirrt sich auf dieses Diagramm wieder, wird zum Unknoten, und verknotet sich wieder zu dem ursprünglichen Knotendiagramm, und wir befinden uns wieder auf Seite 1, der Buchseite mit der wir mit Lesen angefangen haben.

Da die Seiten transparent sind, kann man das Buch auch anders herum lesen, von hinten nach vorne, so zusagen, und schaut dabei immer auf die Rückseiten der Buchseiten, also die Spiegelbilder der Diagramme. Das Spiegelbild eines Knotens kann im allgemeinen ein anderer Knoten sein. In diesem Fall allerdings, weil ja jedes einzelne Bild den Unknoten zeigt, sind sie natürlich in Wirklichkeit alle gleich.

Es gibt hier eine Menge Symmetrien zu entdecken, und es schaut alles so kompliziert aus, obwohl in Wirklichkeit alles ganz einfach 0 ist. – Erinnert mich an einige Leute, und ihre so genannten Problemlösungen, muss ich sagen…

Ursprünglich hatte ich geplant, eine Kamera zu leihen, und einen kurzen Tonfilm zu machen, auf dem man sehen und hören kann, wie sich das Buch bewegt. Außerdem wollte ich eine kurze Animation machen, auf der man den Knoten sich entwirren sieht. – Mal schauen, ob ich noch dazu komme. Im Moment arbeite ich schon an einem nächsten, ähnlichen Buch. Diesmal nicht mathematisch, aber nach dem gleichen Grundprinzip konstruiert. – Ich lasse euch natürlich wissen, wenn was daraus wird, und ihr seid natürlich auch die ersten, die ein Video zu sehen bekommen werden, sollte ich noch eines machen!

Danke fürs Lesen bis hier her durch die ganze Mathematik hindurch. Ich hoffe, es war wenigstens ein bisschen interessant – oder wenn nicht, habt ihr euch ja vielleicht an den Bildern erfreuen können. Ich wünsche noch einen schönen sonnigen Tag!

I was planning to make a small animation of the content, as well as a video with sound of the finished book. I am not sure whether I will really come around doing this. For now I am already working on the next model. I’ll let you know when and if something good comes out of this. And of course you will be the first to see the video, should I decide to borrow a camera, and make it.
Thanks for making it through all the math-talk. – I hope you enjoyed it at least a little, or the images at least.